Una rete complessa è un grafo, quindi un sistema costituito da nodi connessi tra loro secondo certe relazioni, che possiede delle caratteristiche particolari, tipiche di una grande parte di fenomeni naturali del mondo che ci circonda. Un grafo qualunque è di poco interesse per quanto riguarda la modellizzazione del mondo reale perché questo si basa su una distribuzione completamente casuale (i grafi di Erdős-Rényi) o assolutamente regolare e periodica (i reticoli cristallini) che diversi studi hanno mostrato non essere la distribuzione preferita dalla Natura quando vengono a realizzarsi dei sistemi complessi.
Un grafo con una distribuzione di link regolare e periodica (a sinistra) e uno con una distribuzione completamente casuale (a destra)
Una delle più importanti caratteristiche che differenziano i grafi dalle reti complesse è stata dimostrata per la prima volta da Milgram nel 1969 e consiste nell’effetto small-world: l’esperimento che aveva ideato è consistito nel verificare quanti passaggi sono necessari per far arrivare una lettera da un particolare mittente a un particolare destinatario che non si conoscono direttamente; ogni mittente poteva inoltrare la lettera soltanto a un destinatario, che a sua volta poteva ulteriormente inoltrare la lettera, che conoscesse in modo diretto, oltre che presumibilmente il destinatario finale; il risultato di questo esperimento è stato che le reti sociali, che presentano una struttura intermedia tra quella casuale e quella regolare e definita da un numero limitato di connessioni “speciali” che permettono di ridurre le distanze medie tra i nodi del grafo, presentano una distanza media di 6 persone, nota in letteratura come “i sei gradi di separazione”.
Un grafo con una distribuzione di link intermedia tra quella regolare e quella casuale: per crearla si possono rimuovere casualmente alcuni link ai un grafo regolare e reinserirli in modo casuale nello stesso grafo; questo permette di riprodurre l’effetto small-world
L’effetto small-world è sorprendente e, in qualche modo, inaspettato visto che i principi che segue la Natura per instaurare le connessioni tra le entità dei vari sistemi non sono forzati dall’uomo, ma evidentemente esistono delle leggi che (fortunatamente) non dipendono dalla nostra interferenza nei suoi piani e che essa segue nel momento in cui realizza un sistema complesso, come ad esempio le reti di interazioni tra geni, il cui studio ha portato alla medicina delle reti, che si propone di trattare le malattie con farmaci che agiscono su molteplici pathway o con gruppi di farmaci “personalizzati” a seconda della malattia e del paziente.
Questo tipo di reti, come tante altre reti di interazione naturale, oltre all’effetto small-world, presentano tipicamente anche diversi altri fenomeni che ci permettono di capire meglio la definizione di rete complessa e la differenza con i grafi semplici, come ad esempio il fenomeno dell’attaccamento preferenziale e della presenza di cluster di nodi.
Il fenomeno dell’attaccamento preferenziale è stato proposto da A.L. Barabási and R. Albert nel 1999 per riprodurre il meccanismo utilizzato in natura che spiega la presenza, in una rete complessa, di hub, cioè di nodi con un elevato numero di connessioni (il cosiddetto “grado” del nodo) rispetto alla maggior parte dei nodi presenti nella stessa rete: questo meccanismo prevede che, nel momento in cui si sta venendo a creare una rete, ogni nuovo nodo che si aggiunge alla rete abbia una maggiore probabilità di instaurare delle connessioni con nodi che presentano già un grado elevato piuttosto che con quelli che presentano un grado piccolo; in questo modo i nodi più grandi continuano a diventare sempre più grandi e quindi a ricoprire un ruolo centrale nella stabilità del grafo.
Il video mostra il modello di crescita con attaccamento preferenziale; si parte con un solo nodo nella rete e in ogni istante successivo ne viene aggiunto uno nuovo; a parte i primi due step, nei quali è presente prima un solo nodo e poi due nodi con uguale numero di connessioni, a ogni step successivo i nuovi nodi aggiunti per far crescere la rete si attaccano con maggiore probabilità a nodi che hanno più connessioni, realizzando nel tempo degli hub sempre più grandi e una distribuzione del grado di tipo Power-law
La presenza di questi hub è evidente in tantissimi esempi, come la rete del traffico aereo o le reti metaboliche, e la loro presenza porta a un sistema complesso che non è più in grado di presentare un valor medio rappresentativo del grado della rete, detto per questo motivo “a invariata di scala” o scale-free: la distribuzione del grado di queste reti infatti non ha più la tipica forma a campana delle distribuzioni Gaussiana o Poissoniana ma, in una scala doppio-logaritmica, ha la forma di una retta decrescente, a indicare il fatto che sono presenti molti nodi con poche connessioni e pochi nodi con molte connessioni; nel caso di una distribuzione lineare (inteso come “non a campana”), quindi, non è possibile individuare un grado medio.
Un esempio di rete con distribuzione del grado tipo Poissoniana e un’altra del tipo Power-law: le reti stradali (a sinistra) hanno un costo di crescita importante e quindi il numero di connessioni di questa rete non cresce a dismisura nel tempo; al contrario, le reti aeroportuali (a destra) crescono secondo un modello completamente diverso perché per aggiungere una nuova tratta è sufficiente aggiungere un nuovo aereo.
Lo studio di queste distribuzioni ha portato a scoprire un’altra caratteristica sorprendente delle reti complesse, cioè il fatto che queste presentano all’incirca sempre lo stesso valore dell’esponente del grado della distribuzione, con un valore che si distribuisce tra il 2 e il 3, anche se tratta di reti di tipo profondamente diverso come le reti di citazioni nella letteratura scientifica o le reti di interazione tra le proteine.
Un’altra caratteristica delle reti complesse, non meno importante di quelle discusse finora, è quella di presentare una struttura di raggruppamento dei nodi in cluster (o community) molto marcata. Esistono diversi modi per definire una community, uno dei più famosi considera che questo raggruppamento è presente per un certo insieme di nodi quando la densità delle connessioni interne a questo insieme di nodi è sensibilmente maggiore di quella che si otterrebbe ridistribuendo in modo casuale le connessioni della rete. L’importanza di questa partizione della rete è legata al fatto che permette di classificare i nodi sconosciuti in base a nodi già noti presenti nella stessa rete: due nodi, infatti, che vengono classificati in una stessa community condividono alcune caratteristiche e questo permette di fare delle ipotesi sulle caratteristiche di nodi non ancora studiati, se questi vengono inseriti nelle community dove sono presenti altri nodi di cui si conoscono già le caratteristiche comuni.
Un grafo molto noto nel campo delle reti complesse è quello del karate club, un grafo sociale che descrive le relazioni tra allievi, maestro e amministratore di una palestra; durante lo studio del sistema è sorto un conflitto tra l’amministratore e l’istruttore che ha portato il club a dividersi in due gruppi: quello rosso/giallo e quello verde/blu; il motivo per cui questi gruppi non hanno un unico colore identificativo è che, a loro volta, anche questi gruppi presentano una sotto struttura di altre due sotto-community interne a ognuno di essi (in particolare è interessante osservare che i nodi 5, 6, 7, 11 e 17 sono legati solamente tra di loro e con uno dei due capi della palestra, a indicare il fatto che probabilmente sono un gruppo di amici che si era iscritto in palestra solo di recente e quindi conosceva soltanto quel capo palestra)
Ora che è più chiaro cosa sono le reti complesse, risultano più evidenti le loro applicazioni nello studio dei problemi reali.
Una rete complessa può essere una rete spaziale che misura gli spostamenti dei veicoli nel traffico di una metropoli; il suo studio può permettere di risolvere problemi legati alla distribuzione dei parcheggi nelle zone degli uffici negli orari di lavoro o di trovare la via più breve per entrare nel centro della città tenendo conto degli ingorghi. In campo medico lo studio di reti geniche differenziali è in grado di identificare importanti cluster di geni implicati nel cancro. In ambito sociale, le reti delle nostre interazioni sui social network in termini di citazioni nei post, assegnazione di like a post di altri utenti, risposte a commenti e simili permettono di risalire alle nostre preferenze in ambito commerciale, politico, sportivo, etc.
Sui siti di e-commerce, inoltre, ogni volta che visitiamo la pagina della descrizione di un prodotto creiamo delle connessioni tra prodotti e utenti che fanno sì che algoritmi di predizione siano in grado di proporre pubblicità personalizzata basata sui nostri gusti. La stessa rete Internet presenta ovviamente una struttura di rete complessa, e la sua corretta conoscenza e comprensione permette di proteggere con maggiore coscienza i server da attacchi mirati, ad esempio, al loro isolamento dal resto del sistema.
Lo studio degli effetti del fenomeno small-world inoltre sono alla base degli sforzi attualmente in atto ancora oggi per comprendere la diffusione di virus come la SARS o il COVID-19 e per pianificare degli interventi mirati su determinate zone della rete che permettano di ridurre sensibilmente il fattore di crescita esponenziale dell’infezione.